تمارين محلولة على الوسط الحسابي والوسيط والمنوال


تمارين محلولة على الوسط الحسابي والوسيط والمنوال

تمارين محلولة على الوسط الحسابي والوسيط والمنوال

في هذا المقال ، سوف نقوم بعمل تمارين محلولة على الوسط الحسابي والوسيط والمنوال ، قبل وضع امثلة علي كلا من هذه المقاييس ، سوف نقوم بتعريف ما هو الوسط الحسابي والوسيط والمنوال  ، وما هو اهميتهم في الاحصاء ، وما هو القوانين التي من خلالها يتم تطبيق تمارين محلولة على الوسط الحسابي والوسيط والمنوال ، وما هي النزعة المركزية وهل يوجد مقاييس اخري غير الوسط الحسابي والوسيط والمنوال .

* ما  هي مقاييس النزعة المركزية؟

لمعرفة العلاقة بين الوسط الحسابي وأنواع الوسط الحسابي ، وعلاقته بمقاييس النزعة المركزية ، لابد أولا من معرفة ما هي النزعة المركزية 

مقاييس النزعة المركزية هو من أشهر المقاييس الاحصائية التي يتم الاعتماد عليها في الدراسات الاحصائية ، ولكن لمعرفة ما معنى نزعة مركزية ؛ عند النظر الى البيانات الخاصة لأي ظاهرة سواء في صورتها الخام او تم تلخيصها في جداول تكرارية ، نجد أن اغلبية مفردات  الظاهرة تتراكم حول قيمة معينة ، وهذه القيمة المعينة في الاغلب تكون هي مركز التوزيع ، وتمثل القيمة المتوسطة لهذا التوزيع ، ويطلق على هذه الظاهرة او القيمة المعينة مصطلح "نزعة مركزية "

* ما هي أشهر مقاييس النزعة المركزية

يوجد خمس انواع من مقاييس النزعة المركزية:-

١- الوسط الحسابي

٢- الوسيط

٣- المنوال

٤- الوسط الهندسي

٥- الوسط التوافقي

واشهر هذه المقاييس والكثر استخداما منها في التحليل الاحصائي هما الوسط والوسيط  والمنوال .

وبعد ان قمنا بتعريف مقاييس النزعة المركزية  وقبل عمل تمارين محلولة على الوسط الحسابي والوسيط والمنوال ، سوف نقوم بتعرفهم مع وضع امثلة علي الحالات الخاصة بيهم

* الوسط الحسابي

هو مجموع القيم مقسوما على عددها ، ويعتبر الوسط الحسابي هو الاشهر والاكثر استخداما في التحليل الاحصائي وسط المتوسطات الاخرى  ، ولذلك اسباب منها :-

١- يحقق الوسط الحسابي كل شروط الوسط الحسابي الجيد من الكفاءة وعدم التحيز .

٢- يتميز كمقياس احصائي انه يدخل في تقديره كل البيانات المتاحة عن الظاهرة

* تمارين محلولة على الوسط الحسابي والوسيط والمنوال

اولاً- عمل تمارين محلولة على الوسط الحسابي

١- الوسط الحسابي للبيانات  الغير مبوبة

كيف نقوم بحساب الوسط الحسابي للبيانات الغير مبوبة ، اي البيانات التي لا تكون علي شكل جداول تكرارية ، ولمعرفة كيف نقوم بحساب هذه البيانات ، يجب ان نقوم بمعرفة قانون الوسط الحسابي

قانون الوسط الحسابي = مجموع قيم المشاهدات / عدد القيم

وللتوضيح أكثر يرجى النظر للمثال الاتي :-

اذا كانت هذه هي القيم " 20 ،30 ،50 ، 60 ،70 ،80 " فأوجد الوسط

الوسط = مجموع قيم المشاهدات / عدد القيم

اذن الوسط هنا يساوى لهذه القيم = "50 +30+50+60 +70 +80 " /6 = 56

وهذا النوع من أنواع الوسط الحسابي هو الأسهل لأنه لا يحتاج إلى جداول تكرارية كل ما يحتاج إليه هو حصر مجموع المشاهدات الموجودة وقسمها على عدد هذه القيم .

ثانياً- الوسط الحسابي للبيانات المبوبة (الجداول التكرارية )

 في حالة كان لدينا مجموعة من القيم ، ويوجد وسط هذه القيم مجموعه منها متساوية ، فبسهولة يمكن تجميع وتلخيص هذه القيم في جدول تكراري بسيط حسب القيم المكررة  ، ونستطيع حسب الوسط الحسابي لهذه القيم عن طريق جمع حواصل ضرب القيم في تكراراتها مقسوما على مجموع التكرارات .

والمثال الاتي يوضح كيفية حساب البيانات الجدولية

اذا كان لدينا 20 قيم مثل "1 ،2 ،5،9،8،8،9،1،3 ،2،4 ،1،3،5،6، ،7 ،7،4،5،5" فما هو الوسط الحسابي

القيمة

1

2

3

4

5

6

7

8

9

التكرار

3

2

1

2

3

1

2

2

2

فان الوسط الحسابي لهذه القيم =(1*3+2*2+3*1+4*2+5*3+6*1+7*2+8*2+9*2)÷20=4.35

فسواء كانت أنواع الوسط الحسابي مبوبة أو غير مبوبة في كلا الحالتين يسهل حساب الوسط الحسابي  .

* ما هو الوسيط الحسابي؟

هو أحد مقاييس النزعة المركزية التي تستخدم من أجل إعطاء معلومات حول القيمة الوسطية الموجودة ضمن مجموعة من البيانات الإحصائية التي تختص بوصف مجتمع دراسي محدد، ويشترط عند الرغبة في استخدام الوسيط أن يكون هناك  قيمة بدائية وقيمة نهائية للقيم المراد حساب الوسيط لها، وهذا يتطلب أن يتمَّ فرز البيانات الإحصائية تصاعديًا أو تنازليًا من أجل ترتيب هذه القيم بناءً على مقدارها العددي لإيجاد القيمة الوسطية بينها، وفي حال عدم ترتيب البيانات فإنَّ القيمة الوسطية ستكون مُشوَّهةً ولن تعكس القيمة الوسطية الحقيقية .

تمارين محلولة على الوسط الحسابي والوسيط والمنوال

ثانياً- عمل تمارين علي الوسيط

ما هو الوسيط الحسابي لهذه الارقام : ( 2،4،6 ،1،0،7،2،9،3،5 )

اولا نقوم بترتيب القيم تصاعديا او تنازليا كالاتي : 0 ،1،2،2، 3 ،4 ،5 ،6 ،7 ،9 فان قيمة الوسيط الحسابي هي القيمة المتوسطة لهذه الارقام وهما (3 ،4 ) ثم نقوم بجمعهم وقسمتهم على 2 فيكون الوسيط الحسابي يساوي (3+4 )=7 /2 =3.5

مثال اخر : احسب لوسيط الحسابي لهذه القيم (20 ،25، 40 ،45، 55 ، 70 ، 75 ،80 )

الوسيط الحسابي لهذه القيم = اولا هذه القيم مرتبة تصاعديا فيكون الوسيط هو (45 ،55 ) = 100 /2 = 50 فان الوسيط الحسابي لهذه القيم يساوي 50

تمارين محلولة على الوسط الحسابي والوسيط والمنوال

المنوال :  المنوال لمجموعة من القيم، هي القيمة الأكثر تكرارا بين القيم ، أو الاكثر شيوعا ، وذلك يحدث إذا كانت البيانات غير مبوبة ، فيوجد المنوال في أكثر من حالة ، اولا في حالة قد تكررت القيمة أكثر من غيرها ومثال على ذلك

ثالثاً- تمارين محلولة على المنوال

الحالة الاولى  : نفترض أن هذه الدرجات لعشر طلاب من طلاب الإعدادية ، فأين يوجد المنوال هنا

الدرجات " 35 ، 40 ، 27 ، 35 ، 27 ، 30 ، 25 ، 37 ، 36 ،35 :"

فإن المنوال هنا هو القيمة التي تكررت أكثر من غيرها ، وهى درجة الطلاب الذين حصلوا على درجة "35 " .

الحالة الثانية : إذا تكرر اكثر من قيمة فان هاتان القيمتين يمثلان المنوال كما في المثال الاتي :

اذا كانت هذه اجور بعض العاملين فأوجد قيمة المنوال "13 ، 15 ،17 ، 15 ، 11 ، 13 ،10 ،8 ، 13 ، 15 " فاذا تمعن النظر هنا سوف نجد اكثر من قيمة تكررت وهما القيمة رقم 13 والقيمة رقم 15 ، لذلك المنوال هنا هما القيمتين" 13 ، 15 " .

الحالة الثالثة : هذه الحالة التي لا يوجد فيها اي قيمة متكررة لذلك لا يوجد فيها منوال ، كما في المثال الاتي :

"6 ، 3 ، 5 ، 6 ، 7 ،8 ،2 ،9، 4 " هذه القيم لا يوجد فيها ما يدل على وجود منوال لأنه لا يتواجد فيها أي قيمة متكررة  .

يوجد حالة أخرى  وهى ما يتمثل فيها هذا المقال ؛ المنوال في الجداول التكرارية ، وهى تسمى البيانات المبوبة  ، فالمنوال هنا : يمثل القيمة التي تنار الفئة ذات الاكثر تكرار ، وفي حالة هناك رسم بياني، فإن المنوال ، هو القيمة التي تناظر قمة المنحنى ،الذى يمثل توزيع البيانات ، وذلك فإن قمة المنحنى ، هي القيمة التي يكون عندها التكرارات أكبر ما يمكن .

المنوال في الجداول التكرارية

طرق حساب المنوال في الجداول التكرارية ،يقع المنوال في الفئة الأكثر تكرارا ، وهى ما تسمى بفئة المنوال ، ويتم حساب المنوال في الجداول التكرارية عن طريق معرفة بداية ما يسمى بفئة المنوال ، الفئة السابقة لها  ، والفئة التي تليها وبذلك يمكن حساب المنوال بسهولة ومن الممكن تمثيله في القانون الاتي :

المنوال = بداية فئة المنوال +(ك.- ك1 )/(2ك.- ك1- ك2) *ف

ك. = ترمز الى تكرار فئة المنوال

ك1= ترمز إلي التكرار السابق لفئة المنوال

ك2 = ترمز الى التكرار اللاحق لفئة المنوال

ف = يرمز إلى طول فئة المنوال

فئات الوزن

عدد الطلبة (التكرار )

90-

20

100-

30

110-

45

70-

20

60-

40

90-

60

140-

10

150-

15

120-

30

الفئة المنوال التي يقابلها اكثر تكرار هو 90- يقابلها 60

بداية الفئة المنوال =90 ،تكرار الفئة المنوال =80

ك1 :التكرار السابق للفئة المنوال =40

ك2 :التكرار اللاحق للفئة المنوال =10

ف :طول الفئة = 9